混沌序列
最近做信息安全方面的项目，看到一些关于混沌变换的论文，总结一番。
关于混沌
如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。
在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。而这些特性正符合序列密码的要求。19**Robert Matthews在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。
一、单logistic混沌映射
一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：
Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈（0,1） 部分文章写为X∈[0,1] 是有误的
其中 μ∈[0,4]被称为Logistic参数。研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。如下图所示：
可以看出，在μ的取值符合3.5699456<μ<=4的条件，特别是比较靠近4时，迭代生成的值是出于一种伪随机分布的状态，而在其他取值时，在经过一定次数的迭代之后，生成的值将收敛到一个特定的数值，这对于我们来说是不可接受的。
下图中描述了X0值一定时，对于不同的μ的取值，迭代可能得到的值：
从图中我们可以看出，在_μ_越接近4的地方，X取值范围越是接近平均分布在整个0到1的区域，因此我们需要选取的Logistic控制参数应该越接近4越好。在01之间次好，在13.5之间的效果很不好。
在_μ_的值确定之后，我们再来看看初始值X0对整个系统的影响。刚才也说过了，混沌系统在初始值发生很小变化时，得到的结构就会大相径庭，在Logistic混沌映射中也是如此。
上图显示的是X0= 0.663489000和X0= 0.663489001，μ=3.99时两个Logistic序列之差的图像，很明显，在最开始20多次迭代，两者的差很小，近似等于0，但随着迭代次数的增加，两个序列的值显示出一种无规律的情形，两者相差也比较大了。因此可以看出该系统具有很好的雪崩效应。
我们在使用Logistic混沌系统时，可以先让系统先迭代一定次数之后，再使用生成的值，这样可以更好地掩盖原始的情况，使雪崩效应扩大，这样可以具有更好的安全性。
最后我们再来看看Logistic的随机分布特性，一个好的伪随机序列应该有比较平均的分布，也就是说，每个数出现的概率应该是相等的。我们对X0=0.2，μ=3.9999的Logistic混沌映射进行30000次迭代后对其值进行统计，分布情况如下表所示:
从上表中我们可以看出，Logistic映射的迭代序列的分布并不是均匀的，对于其他的X0取值也有类似的结构。而且从表中我们还可以看出，其分布是一种两头大中间小的情形。虽然分布情况并不是很平均，但是对于一般情形来说，Logistic映射序列是可以满足我们的需求的。而且我们可以对其想办法加以改进，使之可以获得更好的平均性。
二、超混沌序列
超混沌是一类特殊的混沌现象，它和混沌相比具有更多方向的不稳定性。一般，系统的状态变量愈多，可能出现不稳定的程度就愈高。所以，从实际应用的角度考虑，更希望用超混沌序列作为随机码来提高系统的安全性；但采用高维系统产生超混沌序列较之低维系统计算更复杂，实际应用中通常寻找系统状态变量参数尽可能少的超混沌系统。
二维超混沌离散系统一般有如下形式：
其中，(i=1, 2,?, 12)为待定常系数。第二组公式为简单二维超混沌系统
对比超混沌和单logistic混沌
左图为logistic混沌映射分布图，右图为超混沌分布。在仿真实验中，先固定m5= −1.2, m8= −1.1, m10 =0.1；经多次实验发现，当m4 =1.52时，系统已经进入超混沌状态。公式为：
由此可看出，超混沌在一定空间下的离散型表现的非常好。
三、cat映射和logistic映射
cat映射是一个二维的可逆混沌映射，其动力学方程的一般形式如：
当a b均为1时，就是经典的Amold Cat映射．cat映射具有较好的混沌特性，其每次的运算首先将正方形的点空间线性拉伸，然后通过模运算分割折叠。
基于cat映射和单logistic映射Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈（0,1）
推导出改进的logistic映射，其动力学方程
其中β为[1，4]之间的一个实数，X。∈ (0，1) 分析发现所得到的随机序列与原始随机序列平均有99．9999％ 不相同．
与此得出这种混合映射方式产生的离散序列具有更好的效果。
四、双logistic映射的生成
前面已经知道单logistic映射Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈（0,1）在μ趋近于4的时候产生的序列通向混沌。
令C1（μ1，x1， n1），C2（μ2，x2，n2）为单logistic 映射的不同参数，表示为在u，x下产生的混沌序列中取n位组成的混沌序列子集。
得到 C1 = { xn1 ,xn1+1 , ?, xn1+m1 - 1 } , C2 = { yn2 , yn2+1 , ?, yn2+m2 - 1 }
其中m1和m2表示需要应用的二维事件的行数与列数，例如数据库的行列，图像的行列。
非线性映射函数f 和g k 的定义如下:
其中, t ∈R , k = 1 ,2 , ?; f ( t) 为f : t ->[ - 1 ,1 ] 的映射; gk ( t) 为gk : t ->{ 0 ,1} k 的映射. 利用映射f 和gk 分别从C1 和C2 中各映射出两组实值序列,记为:Cx 1 、Cx 2 、Cy1 和Cy2 ,且:
其中: xi = f ( xn1+i- 1 ) ; xxi = gk ( xn1+i - 1 ) ; yj =f( yn2+ j - 1 ) ; yy j = gk ( yn2+ j - 1 ) ;
i = 1 ,2 , ?, m1 ; j =1 ,2 , ?, m2 .
双logistic通过针对二维事物来产生两组混沌序列，通过新的非线性映射结合起来，离散程度高，但是计算相对复杂了。